电学

电学是高中物理中的另一个重要模块，研究电荷、电流、电场和电路中的现象。以下是电学相关的主要计算公式及详细解释：

静电场

库仑定律

库仑定律描述了两个静止电荷之间的相互作用力。

• 公式：

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

其中：

• $F $：电荷间的相互作用力
• $k $：静电力常数， $ k \approx 9.0 \times 10^9 \ N \cdot m^2/\text{C}^2 $
• $q_1, q_2 $：两个电荷量
• $ r $：两电荷之间的距离

示例说明

假设我们有两个电荷，一个电荷 $q_1 = 2 \times 10^{-6}$ 库仑，另一个电荷$q_2 = -4 \times 10^{-6}$ 库仑，它们之间的距离 $r=0.1 $米。我们来计算它们之间的库仑力。

计算库仑力 F：

将给定的数值代入库仑定律公式：

$F = (9.0 \times 10^9) \frac{|2 \times 10^{-6} \times -4 \times 10^{-6}|}{(0.1)^2}$

计算过程如下：

• $F = (9.0 \times 10^9) \frac{8 \times 10^{-12}}{0.01}$

• $F = 72 \times 10^{-1} \text{ N}$

• $F=7.2N$

所以，两个电荷之间的作用力约为 7.2牛顿。

方向性说明：

根据库仑定律，由于电荷 $q_1$和$q_2$ 的符号相反，它们之间的作用力是吸引力。

电场强度

电场强度表示电场对单位正电荷所产生的作用力，通常用 E 表示。

• 公式： $ E = \frac{F}{q} $ 或： $ E = k \frac{Q}{r^2} $ 其中：
  • $E $：电场强度
  • $F $：作用力
  • $q $：试探电荷
  • $Q $：源电荷
  • $r $：距离源电荷的距离

举例说明

假设我们知道一个电场对单位试探电荷的力 $F=3$ 牛顿，试探电荷的大小 $q = 1 \times 10^{-6}$ 库仑。我们来计算电场强度 $E$

计算电场强度 $E$：

将给定的数值代入电场强度公式：

$E = \frac{3}{1 \times 10^{-6}}$

$E = 3 \times 10^6 \text{ N/C}$

所以，该电场的电场强度为 $3 \times 10^6$ 牛顿/库仑。

电势能

电势能是电荷在电场中由于其位置而具有的能量，通常用 U 表示。

• 公式： $ U = k \frac{Q q}{r} $ 其中：
  • $U $：电势能
  • $k$ 是静电力常数，通常为 $9.0 \times 10^9 \ N \cdot m^2/\text{C}^2$；
  • $Q $：源电荷
  • $q $：试探电荷
  • $r $：两电荷之间的距离

举例说明

假设我们有两个电荷：一个电荷 $q_1 = 3 \times 10^{-6}$ 库仑，另一个电荷 $q_2 = -5 \times 10^{-6}$ 库仑，它们之间的距离$r = 0.2$米。我们来计算它们之间的电势能。

计算电势能 UUU：

将给定的数值代入电势能公式：

$U = (9.0 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-6}) \times (-5 \times 10^{-6})}{0.2}$

计算过程如下：

$U = (9.0 \times 10^9) \frac{-15 \times 10^{-12}}{0.2}$

$U = (9.0 \times 10^9) \times (-75 \times 10^{-12})$

$U = -675 \times 10^{-3} \text{ J}$

所以，两个电荷之间的电势能约为 $-675 \times 10^{-3}$ 焦耳。

说明

• 电势能的正负：计算结果中的负号表示这两个电荷之间的电势能是吸引力。因为其中一个电荷为正，另一个为负，它们之间的电势能是负的。
• 单位：电势能的单位通常是焦耳（J），表示能量的量级。

电势

电势表示电场中某点的电势能与试探电荷的比值。

• 公式： $ V = \frac{U}{q} = k \frac{Q}{r} $ 其中：
  • $V $：电势
  • $U $：电势能
  • $q $：试探电荷
  • $k$ 是静电力常数，通常为 $9.0 \times 10^9 \ N \cdot m^2/\text{C}^2$；
  • $Q $：源电荷
  • $r $：与源电荷的距离

举例说明

假设我们有一个带电量为 $Q = 4 \times 10^{-6}$ 库仑的点电荷，我们想计算离它$r = 0.3$ 米处的电势 $V$。

1. 计算电势 $V$：

   将给定的数值代入电势公式：

   $V = (9.0 \times 10^9) \frac{4 \times 10^{-6}}{0.3}$

   计算过程如下：

   $V = (9.0 \times 10^9) \frac{4 \times 10^{-6}}{0.3}$

   $V = (9.0 \times 10^9) \times 1.33 \times 10^{-5}$

   $V = 1.2 \times 10^5 \text{ V}$

   所以，离点电荷 $0.3$ 米处的电势约为 $1.2 \times 10^5$ 伏特（或1.2万伏）。

2. 说明

   • 电势的单位：电势的单位通常是伏特 $V$，表示每库仑的电势能量。1伏特等于1焦耳/库仑。
   • 方向性说明：由于电荷为正，它产生的电势是正的，表示在离电荷更远的地方，电势会逐渐减小。

电流与电阻

(1) 电流

电流表示电荷在单位时间内通过导体横截面的多少，通常用 I 表示。

• 公式： $ I = \frac{Q}{t} $ 其中：
  • $I $：电流（单位安培，$A$）；
  • $Q $：通过导体横截面的电荷量（单位库仑，$C$）;
  • $t $：时间（单位秒，$s$）;

举例说明

假设我们有一个电路中通过的电荷量 $Q = 6$ 库仑，在 $2$ 秒内通过。我们来计算电路中的电流。

1. 计算电流 $I$：

   将给定的数值代入电流公式：

   $I = \frac{Q}{t} = \frac{6}{2} = 3 \text{ A}$

   所以，电路中的电流为 $3$ 安培。

(2) 欧姆定律

欧姆定律描述了导体中的电流、电压和电阻的关系，通常用 R 表示电阻，V 表示电压。

• 公式： $ V = I R $ 其中：
  • $V $：电压
  • $I $：电流
  • $R $：电阻

举例说明

假设我们有一个电路，其中有一个电阻 $R = 10$ 欧姆，施加在它两端的电压为 $V = 20$ 伏特。我们来计算通过电阻的电流 $I$。

1. 应用欧姆定律计算电流 III：

   将给定的数值代入欧姆定律的公式：

   $I = \frac{V}{R} = \frac{20}{10} = 2 \text{ A}$

   所以，通过电阻的电流 $I$ 是 $2$ 安培。

• 电流方向：根据欧姆定律，电流的方向是由高电压端到低电压端，即从正极到负极方向。
• 单位：电压单位为伏特（V），电流单位为安培（A），电阻单位为欧姆（Ω）。
• 应用实例：欧姆定律广泛应用于电路分析和设计中，帮助理解电路中电压、电流和电阻的相互作用。

(3) 电阻的串联与并联

• 串联电阻： $ R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n $
• 并联电阻： $ \frac{1}{R_{\text{total}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} $

举例说明

串联电阻计算很简单，加和就可以，不需要计算。

这里简单举例并联电阻计算。

假设有三个并联的电阻，其电阻分别为 $R_1 = 5$ 欧姆，$R_2 = 10$ 欧姆，$R_3 = 15$ 欧姆。我们来计算它们的总并联电阻。

$\frac{1}{R_{\text{并}}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

首先计算每个电阻的倒数：

$\frac{1}{5} = 0.2, \quad \frac{1}{10} = 0.1, \quad \frac{1}{15} \approx 0.067$

然后将它们相加得到总的倒数：

$\frac{1}{R_{\text{并}}} = 0.2 + 0.1 + 0.067 = 0.367$

最后求得总并联电阻：

$R_{\text{并}} = \frac{1}{0.367} \approx 2.72 \text{ 欧姆}$

所以，这三个并联电阻的总电阻约为 $2.72$欧姆。

• 串联电阻特点：总电阻大于任何一个单独电阻的电阻值。
• 并联电阻特点：总电阻小于任何一个单独电阻的电阻值。
• 实际应用：电路设计中根据需要选择串联或并联连接，以达到特定的电阻效果或电路功能。

电功与电功率

(1) 电功

电功是电场力做的功，表示电流通过电路消耗的能量，通常用 W 表示。

• 公式： $ W = U Q = V I t $ 其中：

  • $W $：电功

  • $U $ 或 $V $：电压

  • $Q $：通过的电荷量

  • $I $：电流

  • $t $：通电时间

    在实际应用中，电功或电能通常用电表来测量，单位为度。1度电等于1千瓦时，表示1小时内功率为1千瓦的电能的消耗量。

(2) 电功率

电功率表示电流在单位时间内所做的功，通常用 P 表示。

• 公式： $ P = \frac{W}{t} = V I $ 或： $ P = I^2 R $ 或： $ P = \frac{V^2}{R} $ 其中：
• $P $：电功率
  • $W $：电功
  • $t $：时间
  • $V $：电压
  • $I $：电流
  • $R $：电阻

(3) 电量

电量是指电流在电路中通过的总电荷量，通常用符号Q表示，单位为库仑（C）。

电量的计算公式为： $Q = It $ 其中，Q为电量，I为电流，t为时间。

注意，电量和电能不同，电能是指电流在电路中做的总工作，单位为焦耳（J）或瓦特时（Wh）。

基尔霍夫定律

(1) 基尔霍夫电流定律（KCL）

在电路的任何一个节点，流入节点的电流总和等于流出节点的电流总和。

• 公式： $ \sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}} $

(2) 基尔霍夫电压定律（KVL）

在任何一个闭合回路中，所有电动势的总和等于回路中电压降的总和。

• 公式： $ \sum V = 0 $

电容器

(1) 电容

电容表示电容器存储电荷的能力，通常用 C 表示。

• 公式： $ C = \frac{Q}{V} $ 其中：
  • $C $：电容
  • $Q $：存储的电荷量
  • $V $：电容器两极板间的电压

(2) 平行板电容器

平行板电容器的电容可以用下式计算：

• 公式： $ C = \varepsilon \frac{A}{d} $ 其中：
  • $C $：电容
  • $\varepsilon $：电容器之间的介电常数
  • $A $：极板面积
  • $d $：两极板之间的距离

(3) 电容器的串联与并联

• 串联电容： $ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} $
• 并联电容： $ C_{\text{total}} = C_1 + C_2 + \dots + C_n $

电磁感应

(1) 法拉第电磁感应定律

法拉第定律描述了感应电动势的大小与磁通量的变化率之间的关系。

• 公式： $ \mathcal{E} = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} $ 其中：
  • $\mathcal{E} $：感应电动势
  • $\Delta \Phi$ $：磁通量的变化
  • $\Delta t $：时间变化

(2) 楞次定律

楞次定律指出，感应电流的方向总是与引起它的磁通量变化相反，以抵消磁通量的变化。

磁场与电流

(1) 磁感应强度

磁感应强度（磁场强度）通常用 B 表示，描述磁场对运动电荷或电流的作用力。

• 公式： $ F = B I l \sin \theta $ 或对于带电粒子： $ F = q v B \sin \theta $ 其中：
  • $F $：磁场对电流或带电粒子的作用力
  • $B $：磁感应强度
  • $I $：电流
  • $l $：导体在磁场中的长度
  • $\theta $：电流或速度与磁场之间的夹角
  • $q $：带电粒子电荷量
  • $v $：带电粒子速度

(2) 安培力

安培力是磁场对载流导体的作用力。

• 公式： $ F = B I l $ 其中：
  • $F $：安培力
  • $B $：磁感应强度
  • $I $：电流
  • $l $：导体长度

这些公式涵盖了电学的主要内容，帮助理解电路、电磁现象及其相关的计算。